蚁群算法基本原理及其应用综述
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作者：程 艳 燕 【字体：】
蚁群算法基本原理及其应用综述
程 艳 燕
（南京信息工程大学 江苏 南京 ２１００４４）
摘 要：蚁群算法（ＡＣＡ）是一种广泛应用于优化领域的仿生进化算法。从ＡＣＡ发展背景着手，分析比较国内外ＡＣＡ研究团队与发展情况，立足于基本原理，分析其数学模型，介绍了六种经典的改进模型，对其优缺点进行分析，简要总结其应用领域并对其今后的发展、应用做出展望。
关键词：蚁群算法；优化；改进；应用
中图分类号：TP273 文献标识码：A
0 引言
专家发现单个蚂蚁只具有一些简单的行为能力，但整个蚁群却能完成一系列复杂的任务，这种现象是通过高度组织协调完成的。１９９１年，意大利学者Ｍ．Ｄｏｒｉｇｏ首次提出一种新型仿生算法ＡＣＡ，研究了蚂蚁的行为，提出其基本原理及数学模型，并将之应用于寻求旅行商问题（ＴＳＰ）的解。
通过实验及相关理论证明，ＡＣＡ有着有着优化的选择机制的本质，而这种适应和协作机制使之具有良好的发现能力及其它算法所没有的优点，如较强的鲁棒性、分布式计算、易与其他方法结合等；但同时也不应忽略其不足，如搜索时间较长，若每步进行信息素更新，计算仿真时所占用ＣＰＵ时间过长；若当前最优路径不是全局最优路径，但其信息素浓度过高时，靠公式对信息素浓度的调整不能缓解这种现象，会陷入局部收敛，无法寻找到全局最优解；转移概率过大时，虽有较快的收敛速度，但会导致早熟收敛，所以正反馈原理所引起的自催化现象意在强化性能好的解，却容易出现停滞现象。笔者综述性地介绍了ＡＣＡ，对一些已有的提出自己的想法，并对其应用及发展前景提出了展望。
1 蚁群算法概述
ＡＣＡ源自于蚁群的觅食行为。Ｓ．Ｇｏｓｓ的“双桥”实验说明蚂蚁总会选择距食物源较短的分支。蚂蚁之间通过信息素进行信息的传递，捷径上的信息素越多，吸引的蚂蚁越多，形成正反馈机制，达到一种协调化的高组织状态，该行为称集体自催化。目前研究的多为大规模征兵，即仅靠化学追踪的征兵。
1．１ 蚁群算法的基本原理
为便于研究提出以下基本假设：蚂蚁间通过信息素和环境进行间接通信；蚂蚁对环境的反应由其内部模决定；蚂蚁个体是独立的，但群体却呈现出一种随机性。
蚂蚁通过适应和协作两个阶段的调整从无序到有序，得到最优解，完成对路径的搜索。对路径的选择，重点在转移概率，即某时刻蚂蚁ｋ在城市ｉ选择城市ｊ的概率的大小
pijk（t）=
arg■｛［τ（r，u）α］·［η（r，u）β］｝（q≤q0）■（j∈allowedk）（１）
其中，ｑ０和ｑ分别为［０，１］上的参数和均匀分布的随机数，其大小决定了利用先验知识与探索新路径之间的相对重要性。若ｑ≤ｑ０，则转移概率选取上面一个式子，即按照先验知识选择最好的边，否则，按照转移概率选择一条边，式１又被称为伪随机比例规则；j∈allowedk为蚂蚁ｋ下一步允许选择的城市；ηｉｓ（ｔ）为能见度因子；ｕ为禁忌表；α，β分别反映蚂蚁在运动过程中所积累的信息和启发信息在蚂蚁选择路径中的相对重要性；τ（·）为信息素浓度的函数。根据不同的模型，信息素做不同的调整，如全局更新规则和局部更新规则。
2 蚁群算法的发展
蚁群优化（ＡＣＯ）是研究受到真实蚁群行为启发的智能系统，常用于解决离散优化问题。启发式ＡＣＯ是１９９１年由Ｄｏｒｉｇｏ和Ｇａｍｂａｒｄｅｌｌａ提出定义的。
2．１ 国外蚁群算法的发展概况
2．１．１ 有关蚁群算法的研究团队
从ＡＣＯ提出至今，越来越多的专家投身于蚁群算法的研究之中，其中较为突出的有以下四个：
（１）瑞士卢加诺ＩＤＳＩＡ。１９８８年建立的ＩＤＳＩＡ是非营利性研究人工智能研究所，２０００年成为公共研究机构，隶属于卢加诺大学的信息学院和瑞士意大利语区高等专业学院的科技创新系，主要负责人为Ｌｕｃａ，Ｌｅｐｏｒｉ，Ｃａｒｌｏ和Ｓｃｈｍｉｄｈｕｂｅｒ。其中一研究主题是人工蚂蚁，该多代理方法是受基于信息素交流的生物蚂蚁启发而来，由前高级研究员Ｄｏｒｉｇｏ和联合负责人Ｌｕｃａ领导研究的。其人工蚁和局部搜索算法的结合已经成为解决某些图形优化任务的方法选择，如车辆路径和网络路径，其迅速发展促成许多商业应用和关于人工蚂蚁的专门会议。
（２）比利时布鲁塞尔ＩＲＩＤＩＡ。ＩＲＩＤＩＡ是布鲁塞尔自由大学人工智能研究实验室，主要在理论上进行深入研究以及计算智能应用于优化。在Ｄｏｒｉｇｏ和Ｂｅｒｓｉｎｉ领导下，其主要研究领域为群智能、组合问题的求解和连续空间优化问题的启发式、生物网络原理性研究以及商业智能应用四个方面，而有关于ＡＣＡ的方向为群智能和元启发式。
ＩＲＩＤＩＡ在群智能的ＡＣＯ和群机器人这两方面处于世界领先地位，对于具体元启发式的研究聚焦于ＡＣＯ，主要研究点是研发一套合理的实验方法论，一套经验学习和元启发式构建的发展工具的应用，特别着重研究的是发展能够设计和完善随机局部搜索算法和元启发式算法的方法论。
近期研究ＡＣＡ项目有：对ＡＣＡ的基础理论研究、复杂系统的智能计算方法、使用生物启发和软件计算的医学成像、自组织的蚁群、走向型机器人群和群智能系统的通信策略。
（３）奥地利维也纳大学经济与统计商学院。由Ｒｉｃｈａｒｄ和Ａｒｔｎｅｒ等组成的团队，主要研究遗传算法、项目管理、最优控制、ＡＣＯ和电子装配等研究课题。其中，关于ＡＣＯ方面的工作由Ｒｉｃｈａｒｄ和Ｋａｒｌ负责，从１９９９年开始至今。
（４）德国莱比锡大学并行计算与复杂系统。Ｍａｒｔｉｎ领导的数学与计算机科学学院计算机科学研究所的并行计算与复杂系统团队，关于ＡＣＡ的主要研究是由人类前沿科学组织自主计划的自然系统优化，以及东风集团项目中的一些关于系统、模型和硬件算法等。
2．１．２ 有关蚁群算法的国际会议
随着人们对ＡＣＡ越来越重视，相关会议也组织起来，来自世界各地的专家对ＡＣＡ及其应用展开研究讨论，其中以Ｄｏｒｉｇｏ为大会总主席的ＡＮＴＳ最为权威。
１９９８年在比利时布鲁塞尔召开第一届ＡＣＡ研讨会：从蚁群到人工蚁，每隔两年召开一次蚁群优化和群智能国际会议。期间，２０００年召开第二届ＡＣＡ国际专会：从蚁群到人工蚁。另外，自２００５年在美国加利福尼亚州帕萨迪纳威斯汀召开了ＩＥＥＥ群智能讨论会，２００６年、２００７年分别在美国印第安州印第安纳波利斯和美国夏威夷檀香山希尔顿村延续召开此会。除以上较为权威的会议，还有很多相关的国际会议，说明ＡＣＡ在国际范围内得到越来越多的重视，研究亦广泛展开。
2．２ 国内蚁群算法的发展概况
国内对该算法研究最早的是张纪会博士和徐心和教授。１９９９年３月，他们首次简单引进ＡＣＡ，从其基本原理、模型、伪码流程进行说明，对Ｏｌｉｖｅｒ３０ ＴＳＰ问题分析说明，但未对基本模型中的参数进行详细地理论说明，且停止条件的界定较含糊，主要靠经验决定。其后引入的变异机制加快了收敛速度，使得到较优解的周期缩短，并从计算机仿真层面上证明其有效性。
２００１年，陈烨引入遗传算法中用到的杂交算子来改善蚁群搜索速度慢、容易陷入局部最优。但随路程的增长，每次的代数显著增加，计算量较大。同年８月，郝晋等通过将转移概率设置为转移系数，结合扰动策略以防止漏选最优路径，能够节约计算时间，且能够很好的克服算法容易陷入局部最优的缺陷，计算精度也有提高。但在关于倒指数的扰动因子和均匀分布的随机数的选择并未解决，仍以实验为主要获取手段。而后李艳君等对自适应ＡＣＡ进行了进一步研究，对信息素采取自适应更新，应用于连续空间优化问题的求解，并进行了证明。
２００２年，王颖等对自适应ＡＣＡ作出了改进，获得了很好的结果。该ＡＣＡ在进化代数减少的情况下，解的质量也得到了一定提高，在一定程度上实现了收敛速度与解的质量的平衡。但分析其复杂度可知，蚂蚁的数目与问题规模不相上下，蚂蚁数目增多会使收敛速度过快，为防止该现象而将信息素挥发悉数设置得比一般情况低一个数量级，而相关系数α、β、ρ等则由实验设定。当蚂蚁数量与问题规模相当时，实验次数与时间是不容忽视的一个问题。ＡＣＡ除在原理层面进行模型改进，在应用方面也有一定发展，如张宗永等将ＡＣＡ作出改进，配合随机分布技术，应用到分析上海市整个内河航道和集装箱运输的过程中，对内河航道进行规划，最终得出合理的分配方案并提出了满足最优分配的河道改造的建议。
２００３年，陈崚等令人工蚁模仿真实蚂蚁的感觉和知觉行为，设置合理绝对感觉阈值以克服蚂蚁在初始选择时容易失去解的多样性，改进选择策略以自适应的修改路径上的信息量，通过对不同规模和不对称ＴＳＰ的仿真说明算法具有较好的收敛性和稳定性。新提出的启发式搜索方法——智能ＡＣＡ，通过取消外激素、自动调整选择最优路径的比例，改变了选择目标城市的依据和引入扰动，仿真结果说明在减少计算量的同时，可取得更好的搜索结果，但也指出通过实验确定相关的物理系数不利于算法的推广。但该文仅针对ＴＳＰ，对其他问题能否应用仍不明确。
２００４年，黄国锐等提出采用不同于传统基本ＡＣＡ所采用的蚁周模型，它采用了更贴近于真实蚂蚁行为的蚁量模型，建立信息素扩散模型，使相距较近的蚂蚁之间能够更好地进行协作，文中仿真结果表明该算法的有效性。然而文中虽在达到收敛所需进化代数上较基本ＡＣＡ有了很大的改进，减少约４倍，但最短路径长度的减少并不明显，且参数的设定仍是以试验为手段，缺乏理论支撑。
针对基本ＡＣＡ容易陷入局部最优、收敛慢等缺陷，许多新模型陆续提出，如基于云模型的ＡＣＡ、对信息素的限制、回归型的等，甚至还有不少研究者试图从新的角度重新审视并尝试性研究ＡＣＡ，较为新颖的有从蚁群社会的“多态性”出发，试图以更贴近真实世界中蚂蚁行为来研究ＡＣＡ，发现更适应较大规模的问题，以及将着眼于蚁群整体的研究角度转换到关注蚂蚁个体的速度对算法的影响。为从根本上解决ＡＣＡ不足，其收敛性的分析也在不断展开，如用动态分阶段的方式，而具体影响ＡＣＡ的参数也越来越得到关注，如有相关讨论，但参数如何设定并未有理论依据，如何建立通用标准来对参数进行最优设置仍是难点。在研究的应用范围方面也从一开始的离散域扩展到连续域，连续域中有关于收敛性的研究，以及新模型的设计也在进行着。
全国各高校及研究机构也对该算法展开了研究，如徐锋、杜军平的《改进蚁群算法在旅游路线规划中的应用研究》等。１９９９年从首次引入ＡＣＡ至今，相关研究蓬勃发展，右图为相关的论文题名和关键字的论文数量增长表。
国内对于ＡＣＡ的研究也越来越深入，基于各类模型的ＡＣＡ层出不穷，研究域也从离散域扩展到连续域，同时ＡＣＡ在不断与其他算法结合以克服本身的缺陷。但国内的研究起步较晚，对于影响收敛性的α、β等相关参数至今无法确定一套相关的理论来进行设置，只能通过反复试验来大致确定一个参数范围，且研究较多地停留在理论仿真，应用到实践中仍较少，而国外对于这些范围的研究已经较为成熟。
2．３ 蚁群算法的改进型
ＡＣＡ的收敛速度和最优解的全局性是一对矛盾体，收敛速度过快，会导致早熟，陷入局部最优解，而当信息素更新不及时或算法计算量过大时，则导致收敛速度过慢而应用不现实，为克服这些问题，相应的改进的ＡＣＡ不断提出。
（１）带精英策略的蚁群系统（ＡＳ）。在带精英策略的ＡＳ中，为了使到目前为止所找出的最优解在下一个循环中对蚂蚁更有吸引力，在每次循环之后给予最优解额外的信息素量。它信息素的更新为：
τｉｊ（ｔ＋１）＝ρτｉｊ（ｔ）＋Δτｉｊ＋Δτｉｊ*（２）
其中，Δτｉｊ*表示经蚂蚁引起路径（ｉ， ｊ）上的信息素量的增加；σ是精英蚂蚁的个数；Ｌ*为所找出的最优解的路径长度。这种算法收敛速度快，而且计算耗时短，但如果σ过大，搜索会局限于极值周围，导致搜索的早熟收敛。
（２）基于优化排序的蚂蚁系统。基于优化排序的ＡＳ针对带精英策略的ＡＳ的缺点，通过排序很好地抑制了早熟，尤其当初始状态各解的差异性不大时，效果显著，但其中，第μ只最优蚂蚁引起的路径（ｉ，ｊ）上信息素量的增加
Δτｉｊ＝■Δτｉｊμ（３）
Δτｉｊμ为第μ只最优蚂蚁引起的路径（ｉ，ｊ）上信息素量的增加；Δτｉｊ*由精英蚂蚁引起的路径（ｉ，ｊ）上的信息素量的增加。
（３）最大—最小蚂蚁系统（ＭＭＡＳ）。ＭＭＡＳ是由德国学者Ｔ． Ｓｔｕｅｔｚｌｅ和Ｈ． Ｈｏｏｓ提出的，其目的主要在于防止过早的算法停滞现象，性能改进在以下几方面：①只允许其中的一个路径更新信息素。该路径通常是最优路径，可以是所有或当前周游中的最优路径。即只有一只蚂蚁进行信息素更新，而用于信息素更新的蚂蚁可能是迭代最优蚂蚁，也可能是全局最优蚂蚁；②为了避免搜索的停滞，在每个解的元素上的信息素轨迹量的值被限制在一个固定范围内［τｍｉｎ，τｍａｘ］；③为了尽可能的扩大搜索范围，信息素轨迹初始值设为τｍａｘ。
该法的轨迹更新规则为
τｉｊ（t+1）=ρτｉｊ+Δτbestij（４）
其中，Δτbestij＝１／ｆ（ｓｂｅｓｔ），ｆ（ｓｂｅｓｔ）表示迭代最优解或全局最优解的值。这也保证了在初始的搜索中，能够保证最优解的多样性。
尽管在算法中对信息素浓度进行了最大和最小值的限制，但此限制还不足以在较长的运行时间里持久消除停滞现象，故采用信息素的平滑机制：按照比例更新的方法来调整信息素的浓度，使信息素浓度的增加值正比于τｍａｘ与边（ｉ，ｊ）上的信息素浓度的差值。基本做法是：限定信息素浓度允许值的上下限，且采用了平滑机制，也就是不同点中的③。
在当前路径上的信息素浓度远远高于其它路径时，会导致过度收敛，为了降低运行时间，可增加候选解集合的选择概率，不仅能降低算法的运行时间，还可提高该算法的性能。这些改进模式可以通过对一些较大规模的巡游问题求解加以证明。
在全局修正规则中，只让实现最好周游的蚂蚁释放信息素。它和改进的状态转移规则相结合的搜索模式，保证了蚂蚁在优秀父辈完成的周游领域内进行更多搜索，这就使得相应的求解速度大大提高。
（４）最优—最差蚂蚁系统。鉴于ＡＳ搜索效率低和质量差的缺点，最优—最差蚂蚁系统增强了搜索过程的指导性，使蚂蚁的搜索更集中于到当前循环位置所找出的最好路径的领域内，既避免的早熟收敛，又缩短的搜索时间，其模型为
τ（ｒ，ｓ）=（1-ρ）·τ（ｒ，ｓ）-ε·■（５）
其中，ε为该算法引入的一个参数；Ｌｗｏｒｓｔ，Ｌｂｅｓｔ分别表示当前循环中最差和最优蚂蚁的路径长度；τ（ｒ，ｓ）表示城市ｒ和城市ｓ之间的信息素轨迹量。
（５）随机扰动蚁群算法。ＡＣＡ的参数往往是通过反复试验，由经验凑得的，但对算法的计算效率和收敛性会产生不利影响。ＡＣＡ的主要依据是信息正反馈原理和某种启发式算法的结合，式１充分说明了这点。如果放到某条路径上信息素越多且路径越短，则该路径被选中的概率越大，此时转移概率基本不变，成为了“转移系数”，由于蚂蚁总是选择转移系数最大的路径，这个值就具有一定的确定性，而此时，随机扰动蚁群算法与基本蚁群算法相同，也就不可避免会出现停滞现象，由此提出了可变的扰动因子。
随机扰动蚁群算法的过程具体分为“粗调”和“细调”两部分。“粗调”是事先设定信息素浓度和转移概率，再调整系数α和Ｑ，而α和Ｑ的大小分别决定了某一路径的信息量对蚂蚁选择路径的影响程度和路径上信息量的更新程度，而“细调”则相反。确定性选择导致蚂蚁总是选择转移系数最大的路径，而随机选择导致计算转移系数时具有较强的随机性，正是两者的共同作用才使算法具有更强的全局搜索能力。
（６）动态蚁群算法。动态蚁群算法相对于传统蚁群算法和最大—最小蚁群算法，其主要的改进在于：前者在迭代过程中，在选择目标城市的标准时，没有使用一个固定的标准，这样就有利于减少进化停滞现象。后者两者依据信息素和启发函数来选择目标城市，如何依据这两个因子选择城市对算法的性能是非常关键的。蚁群算法对信息素的强度没有限制，因而容易陷入局部最优解，ＭＭＡＳ对信息素的强度给予了一定的范围限制，大大改善了算法的性能，而动态蚁群算法的挥发因子是动态变化。其信息素浓度越高，则挥发因子越大；浓度越低，则挥发因子越小。这样实际上就对信息素的浓度也进行了限制，使信息素浓度不可能无限增大，也不可能为零。
（７）带奖惩策略的蚁群算法。带奖惩策略的蚁群算法采取奖励每次循环中的较优解而惩罚一般性的解，限制信息素量的范围，将挥发系数设为相对较大值以抵消信息素两极分化影响路径选择的随机性，同时兼顾了提高收敛速度与避免早熟收敛。通过模拟实验，该方法读对解决复杂组合优化问题有很好的效果。但是对于奖励的蚂蚁数目和信息素挥发系数的取值只能通过实验来确定，当遇到较大规模的问题时，计算量将会非常大，不易于实践。
此外，自适应ＡＣＡ也是应用较为广泛的一种蚁群算法，一文中的实验表明由于采用自适应选择和动态调整策略，算法的性能明显得到改善，该方法不仅能够加快收敛速度，节省搜索时间，而且能够克服停滞行为的过早出现，有利于发现更好的解。这对于求解大规模优化问题是十分有利的。笔者对自适应蚁群算法进行了进一步研究，对信息素采取自适应更新，应用于求解连续空间优化问题的，并进行了证明。
除了上述改进型，还有其他如具有感觉和知觉特征的ＡＣＡ、基于去交叉局部优化策略的ＡＣＡ、基于信息素扩散的ＡＣＡ、基于模式学习的小窗口ＡＣＡ、带聚类处理的ＡＣＡ、基于云模型理论的ＡＣＡ、基于信息熵的改进ＡＣＡ等。据需要可以针对ＡＣＡ模型中的不同参数进行调整，甚至创新。
3 蚁群算法的应用与展望
3．１ 蚁群算法的应用概况
随着蚁群算法研究的深入，其应用也愈来愈广泛，从宏观上看，主要分为静态组合优化中的应用和动态组合优化中的应用，下面罗列了一些较为具体的应用。此外，国家经济分配问题的协作智能搜索方法、解决反应堆再生器的多目标优化问题等。以下是国内一些论文中出现的关于ＡＣＡ的应用范围中的特例。
3．２ 蚁群算法展望
近年研究ＡＣＡ的研究人员和研究成果成几何级数增长，蚁群算法表现出了其强大的生命力和广阔的前景。
在模型改进方面，注意思维变换，比如尝试逆向思维，试图建立一个具有普遍适应性的ＡＣＡ模型，而不仅仅是针对某一类特定的问题。对于从自然界真实蚁群的行为研究，进一步剖析深层原因，提出更加智能化的蚁群混合行为模型。此外，很重要的一点就是摆脱已有框架，提出更具有创新性的ＡＣＡ模型，尤其是与智能融合方面。
在理论分析方面，由于ＡＣＡ是一种概率搜索算法，从数学理论上对其正确性与可靠性进行严密的证明相对于确定性算法而言，是比较困难的。而Ｇｕｔｉｊａｈｒ Ｗ Ｊ首次利用有向图论对ＡＣＡ进行其收敛性方面的证明。现阶段ＡＣＡ的众多模型并没有归统于共同的框架之下，并且对于ＡＣＡ在连续域的研究相对离散域而言还相对较少，所以对于收敛性的证明和理论分析值得进一步深入研究。
而对于蚁群方法的并行实现而言，ＡＣＡ本身隐含着一定的并行性，单只蚂蚁在一次循环中独立于其他蚂蚁。因此从本质上说，ＡＣＡ应以分布式的协同优化计算方式为特征，而在串行计算机上对ＡＣＡ的并行模拟并不能真正体现蚁群算法的本质特征，因此，进一步的研究工作还应该开展ＡＣＡ的并行机实现。从目前的发展趋势来看，最优并行化将会成为发展重点。
关于硬件实现，ＡＣＡ能够处理的电路规模不及常规电路综合方法。算法的运行时间时间、硬件功能以及电路规模之间的协调平衡。同时，对蚁群算法的仿真硬件产品的可靠性、可测试性、普适性和鲁棒性问题也需要进行进一步的研究，尤其是实际应用时的稳定性。
然而最关键的突破点是如何从实际的现实问题中抽象出其理论模型，从而更加清晰明确地与ＡＣＡ结合应用，在应用中，如何进行相关产品的批量生产以及市场应用的推广，特别是在技术规范以及国家标准方面未雨绸缪也是十分必要的。
4 结语
ＡＣＡ被广泛用于理论与实际应用的各个领域，从最基本的ＡＣＡ初用于解决旅行商问题，到分析解决当下的交通布线、货物运送、蛋白质折叠等问题。ＡＣＡ应用领域之广，效率之高空前，这和其本身所具有的一些特征是密不可分的。
ＡＣＡ提出之际，其创始人对它的发展指出了四个的主要的研究方向：所提出模型和一般自催化过程的数学理论公式；通过研究这种算法能够很好的用于解决问题的类型，该方法的一般性的评价；所提出的模型在人工智能领域的研究意义，尤其是在模式识别和机器学习领域；开发所提出模型的内在并行性，以此绘制并行体系结构的远景。
在以上方向的指导下，针对传统ＡＣＡ收敛速度慢、易陷入局部最优及早熟收敛的缺陷和早期的一些算法模型、收敛性等问题所存在的不确定性，研究者们不断提出新的改进模型，新近提出的量子ＡＣＡ大大加速了各自算法的收敛速度，使得并行计算和鲁棒性得到了强化，但是由于研究时间不长，缺乏坚实的理论基础，而且其可行性是建立在实验仿真的基础上。至今，蚁群算法仍然没有一个普适性的数学模型，尤其是在信息素更新方面，它的主要参数的手段也是建立在实验仿真基础上，从而导致理论基础相对薄弱。某种蚁群优化算法的延拓性在实践应用上对一般ＡＣＡ并不适用，也就是缺乏普适性，而且ＡＳ、ＭＭＡＳ等的收敛性的结果并不能预测最优解能何时找到。
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（责任编辑 高 平 杜倩倩）
发布时间：2011-6-7 9:15:41 点击：65 次
